欧式期权定价模型——布莱克—斯科尔斯模型

2019-07-02 10:15:56

欧式期权定价模型——布莱克—斯科尔斯模型

早在1900年，法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难以得到普遍认同。20世纪70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。

在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通信技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中，投资者通过运用布莱克—斯科尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。

期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B－S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

斯科尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black）在20世纪70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其他有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯科尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯科尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其他形式的金融交易。瑞典皇家科学协会（The Royal Swedish Academy of Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献，而它的出现则解决了欧式期权定价这一重大的难题。

1.B－S期权定价模型（以下简称B－S模型）及其假设条件

B－S模型有5个重要的假设：

（1）金融资产收益率服从对数正态分布；

（2）在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

（3）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

（4）金融资产在期权有效期内无红利及其他所得（该假设后被放弃）；

（5）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可行权和结算。

2.荣获诺贝尔经济学奖的B－S定价公式

C＝S·N（d_{1）－Le^{－rT·N（d2^）}}

其中：

C——期权初始合理价格

L——期权交割价格

S——所交易金融资产现价

T——期权有效期

r——连续复利计无风险利率H

σ2——年度化方差

N（）——正态分布变量的累积概率分布函数

在此应当说明两点：

第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率（设为r_{0）一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r_{0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：r＝ln（1＋r_{0）或r_{0＝Er－1。例如r_{0＝0.06，则r＝ln（1＋0.06）＝085 3，即100以583%的连续复利投资，第二年将获106，该结果与直接用r_{0＝0.06计算的答案一致。}}}}}}

第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T＝100/365＝0.274。

1979年，约翰·考克斯（John Carrington Cox）、斯蒂芬·罗斯（Stephen A.Ross）、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）的论文《期权定价：一种简化方法》提出了二项式模型（Binomial Model），该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。

二项式模型的假设主要有：

（1）不支付股票红利。

（2）交易成本与税收为零。

（3）投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金。

（4）市场无风险利率为常数。

（5）股票的波动率为常数。

假设在任何一个给定时间，金融资产的价格以事先规定的比例上升或下降。如果资产价格在时间t的价格为S，它可能在时间t＋Δt上升至uS或下降至dS。假定对应资产价格上升至uS，期权价格也上升至Cu，如果对应资产价格下降至dS，期权价格也降至Cd。当金融资产只可能达到这两种价格时，这一顺序称为二项程序。